抛物线的性质，抛物线的光学性质

1，抛物线的光学性质

经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。证明：设P（x0，y0），PT是抛物线在P处的切线，PH⊥PT，抛物线的方程为(a>0)，焦点F坐标为（0，）根据抛物线的定义知PF=y0+又抛物线导数为所以切线PN的斜率为2ax0，方程为y-y0=2ax0(x-x0)令x=0,得则FT=y0+所以PF=FT，∠FTP=∠FPT,又∠FPT=∠MPN所以∠FTP=∠MPNMP平行于y轴

抛物线的光学性质

2，数学抛物线的基本性质有哪些个

抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px16/54它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

这些性质不用记，太累。对于过抛物线的焦点的直线的有关焦点弦问题，可用下列方法处理：1.由于抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以做题时要注意这两个距离之间的相互转化；2.联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理来解。

数学抛物线的性质：对于抛物线方程y=ax2+bx+c1、当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，当x=-b/2a时，y值最小， y小=(4ac-b2)/4a；函数在区间（-∞，-b/2a）上是减函数，在区间（-b/2a，+∞）上是增函数当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，当x=-b/2a时，y值最大， y大=(4ac-b2)/4a；函数在区间（-∞，-b/2a）上是增函数，在区间（-b/2a，+∞）上是减函数2、抛物线的对称轴方程是x=-b/2a，顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b2)/4a ）3、当b=0时，抛物线关于y轴对称。当b=c=0时，抛物线的顶点在坐标系原点上。

数学抛物线的基本性质有哪些个

3，抛物线的几何性质是

1．范围因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

存在对称轴有最值存在递增递减两个区间

抛物线的标准方程是 y^2=2px 定义：抛物线是到定点（p/2,0）的距离等于到定直线x=-p/2距离的所有点的集合。焦点坐标是（p/2,0）准线方程是x=-p/2。焦点弦：就是经过焦点，且两端点在抛物线上的线段。长度是 x1+x2+p 焦半径就是一个端点在抛物线上，另一个端点是焦点的线段。长度为x+p/2 长度都是根据定义得出来的

抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。最本质的几何性质！一定记住。

存在对称轴有最值存在递增递减两个区间

抛物线的几何性质是

4，抛物线有哪些性质

当直线与抛物线不相交时,抛物线上到已知直线距离最短的点是与已知直线平行的抛物线切线的切点抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛物线的离心率为1.注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了. 过抛物线y2=2px (p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点,且A(x1,y1)、B(x2,y2) 则有y1y2=-p2, x1x2=p2/4 若一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上,另一顶点在原点,则这个三角形的边长为4p√3 过抛物线y2=2px (p＞0)的焦点作直线交抛物线于P、Q两点,且|PF|=m,|FQ|=n,则1/m+1/n=2/p 抛物线y=2px2的一条弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)过AB的中点作x轴的平行线交抛物线于C. 则S△ABC=|y1-y2|3/16p 过抛物线y=2px2 (p＞0)的顶点O的两弦OA、OB,OA⊥OB,抛物线顶点O在AB上影射N的轨迹方程为：(x-p)2+y2=p2.

1、通径是过焦点的弦中最短的弦 2、对y^2=2px来说，过焦点的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1*y2=-p^2 3、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，(1/AF)+(1/BF)为定值 4、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，过A作AA1垂直于准线于A1，过B作BB1垂直于准线于B1，M为A1B1中点，则AM⊥MB 5、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，C在抛物线的准线上，且BC//x轴，则AC过原点 6、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，向量OA、OB的数量积为定值 7、光学性质：过焦点的光线被抛物线反射后为一组平行光线。 8、设C为抛物线上一点，过抛物线的焦点F作直线L交抛物线于A、B，AF、BF分别与准线交于P、Q，则PF⊥QF。

5，抛物线的具体性质

作ad//x轴交准线于d则：ad=af,bc=bf设：ad=af=a,bc=bf=b,设，ac交x轴于m,准线交x轴于n,fm=x,mn=y则：x/bc=af/ab,x=ab/(a+b)y/ad=cn/cd=bf/ab,y=ad*bf/ab=ab/(a+b)所以，x=y即：m是fn的中点o所以，直线ac经过原点o 设b点坐标：(x1,y1),x1=y1^2/2p则：c（-p/2,y1)设a点坐标：(x2,y2),(y2^2-y1^2)=2p(x2-x1)kab=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y1+y2)lab:y=2p(x-p/2)/(y1+y2)2px=y(y1+y2)+p^2所以，y^2-y(y1+y2)-p^2=0y1y2=-p^2所以， a(y1^2/2p,y1),b(p^3/2y1^2,-p^2/y1),c(-p/2,-p^2/y1)koa=y1/(y1^2/2p)=2p/y1kco=(-p^2/y1)/(-p/2)=2p/y1koa=kcoa,o,c三点共线直线ac经过原点o

1.什么是抛物线?平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线.另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线".定义焦点到抛物线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。2.抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px左开口抛物线:y^2=-2px上开口抛物线:y=x^2/2p下开口抛物线:y=-x^2/2p3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)4.它的解析式求法：三点代入法5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴. 抛物线：y = ax* + bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x-h）* + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

6，抛物线的性质有哪些

性质；抛物线：y = ax *+ bx + ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴顶点式y = a（x+h）* + k解释：y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px16/54它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线. 新授内容一,抛物线的范围: y2=2px y取全体实数 X Y X 0 二,抛物线的对称性 y2=2px 关于X轴对称没有对称中心,因此,抛物线又叫做无心圆锥曲线. 而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线 X Y 新授内容定义 :抛物线与对称轴的交点,叫做抛物线的顶点只有一个顶点 X Y 新授内容三,抛物线的顶点 y2=2px 所有的抛物线的离心率都是 1 X Y 新授内容四,抛物线的离心率 y2=2px 基本点:顶点,焦点基本线:准线,对称轴基本量:P(决定抛物线开口大小) X Y 新授内容五,抛物线的基本元素 y2=2px +X,x轴正半轴,向右 -X,x轴负半轴,向左 +y,y轴正半轴,向上 -y,y轴负半轴,向下新授内容六,抛物线开口方向的判断例.过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切. 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷. 证明:如图. 所以EH是以AB为直径的圆E的半径,且EH⊥l,因而圆E和准线l相切. 设AB的中点为E,过A,E,B分别向准线l引垂线AD,EH,BC,垂足为D,H,C, 则|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB|=|AF|+|BF| =|AD|+|BC|=2|EH| 求满足下列条件的抛物线的方程 (1)顶点在原点,焦点是(0,-4) (2)顶点在原点,准线是x=4 (3)焦点是F(0,5),准线是y=-5 (4)顶点在原点,焦点在x轴上, 过点A(-2,4) 练习小结 : 1,抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法 2,抛物线的定义,标准方程和它的焦点,准线,方程 3,注重数形结合的思想.

7，抛物线的性质

抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点p，坐标为p ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0时，p在y轴上；当δ= b2-4ac=0时，p在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。x的取值是虚数（x= -b±√b2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a≠0)